mirtrМир транспортаWorld of Transport and Transportation1992-3252Russian University of Transport (RUT)10.30932/1992-3252-2024-22-3-2mirtr-2724Research ArticleВОПРОСЫ ТЕОРИИTHEORYОсобенности использования метода нормированного размаха и фрактального анализа при изучении интенсивности потока автомобильного транспортаFeatures of Using the Method of Normalised Range and Fractal Analysis in Studying the Car Traffic Flow Intensityhttps://orcid.org/0000-0003-4473-6776БояршиновМ. Г.BoyarshinovM. G.

Бояршинов Михаил Геннадьевич – доктор технических наук, профессор кафедры автомобилей и технологических машин 

Пермь

Web of Science Researcher ID: ACE-0166-2022; Scopus Author ID: 6506008407; РИНЦ Author ID: 79853; ColabID: R-38610-17352-TA83O; Google Scholar: Y4AT3SUAAAAJ

Boyarshinov, Mikhail G., D.Sc. (Eng), Professor at the Department of Automobiles and Technological Machines 

Perm

Web of Science Researcher ID: ACE-0166-2022; Scopus Author ID: 6506008407; Russian Science Citation Index Author ID: 79853; ColabID: R-38610-17352-TA83O, Google Scholar: Y4AT3SUAAAAJ

mgboyarshinov@pstu.ruПермский национальный исследовательский политехнический университетРоссияPerm National Research Polytechnic UniversityRussian Federation2024070420252231221Copyright © Бояршинов М.Г., 20252025Бояршинов М.Г.Boyarshinov M.G.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://mirtr.elpub.ru/jour/article/view/2724

Актуальность изучения методов исследования транспортных потоков обусловлена необходимостью анализа их особенностей, определения допустимых областей их применения при решении практических задач транспортной отрасли.

Целью настоящей работы является выявление результатов использования современных методов анализа временных рядов, использующих значения интенсивностей потоков автомобильных транспортных средств на городской улично-дорожной сети. Предмет исследования – вычисляемые показатели Хёрста и фрактальной размерности (фрактальный анализ), а также проверка справедливости количественной взаимосвязи этих показателей, указанной Б. Мандельбротом и применяемой в прикладных исследованиях, на реальных данных об интенсивности потоков автомобильного транспорта. Цифровые данные для исследования получены с использованием стационарных измерительных программно-технических комплексов фото- и видеофиксации «Азимут», размещенных на улично-дорожной сети города.

 Исследованием установлено, что при использовании метода нормированного размаха и фрактального анализа встречаются аномальные значения ключевых показателей: показатель Хёрста принимает значения за пределами обычно определяемого диапазона, соотношение между фрактальной размерностью и показателем Хёрста не вполне соответствует известному соотношению Б. Мандельброта. Представляется необходимым глубокое и доскональное исследование результатов, получаемых при применении указанных и, возможно, иных методов изучения интенсивности потоков автомобильного транспорта на улично-дорожной сети.

The relevance of studying the methods of studying traffic flows is due to the need to analyse their features, determine the allowable areas of their application in solving practical problems of the transport sector.

The objective of the work is to identify the results of application of modern methods of time series analysis that use the values of intensities of car traffic flows on the urban street-and-road network. The subject of the study is associated with the calculated Hurst and fractal dimension indices (fractal analysis), as well as with checking the validity of the quantitative relationship of these indicators, specified by B.Mandelbrot and used in applied research, on real data on intensity of car traffic flows. Digital data for the study were obtained using «Azimuth» stationary measuring software and hardware photo and video recording complexes, located on the street-and-road network of the city.

The study has found that anomalous values of key indicators are encountered when using the normalised range method and fractal analysis: the Hurst exponent takes values outside the usually defined range, the relationship between the fractal dimension and the Hurst exponent does not fully correspond to the known B. Mandelbrot set. It seems necessary to conduct a deep and thorough study of the results obtained when using the above and, possibly, other methods for studying the intensity of traffic flows on street-and-road networks.

транспортный потокинтенсивность движения автомобилейпоказатель Хёрстафрактальная размерностьгородской транспортtraffic flowcar traffic intensityHurst exponentfractal dimensionurban transport.ReferencesМандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. – М.: Институт компьютерных исследований, 2002. – 656 с. ISBN 5-93972-108-7.Mandelbrot, B. The Fractal Geometry of Nature [Edition in Russian]. Moscow, Institute of Computer Research, 2002, 656 p. ISBN 5-93972-108-7.Федер Е. Фракталы. – М.: Мир, 1991. – 254 с. ISBN 5-03-001712-7.Feder, J. Fractals [Edition in Russian]. Moscow, Mir publ., 1991, 254 p. ISBN 5-03-001712-7.Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы теории. – М.: Постмаркет, 2000. – 354 с. ISBN 5-901095-03-0.Crownover, R. M. Introduction to fractals and chaos [Edition in Russian]. Moscow, Postmarket publ., 2000, 354 p. ISBN 5-901095-03-0.Grahovac, D., Leonenko, N. N., Taqqu, M. S. Scaling Properties of the Empirical Structure Function of Linear Fractional Stable Motion and Estimation of Its Parameters. Journal of Statistical Physics, 2015, Vol. 158 (1), pp. 105–119. DOI: 10.1007/s10955-014-1126-4.Grahovac, D., Leonenko, N. N., Taqqu, M. S. Scaling Properties of the Empirical Structure Function of Linear Fractional Stable Motion and Estimation of Its Parameters. Journal of Statistical Physics, 2015, Vol. 158 (1), pp. 105– 119. DOI: 10.1007/s10955-014-1126-4.Любушин А. А. Прогноз Великого Японского землетрясения // Природа. – 2012. – № 8 (1164). – С. 23–33. [Электронный ресурс]: https://elibrary.ru/download/elibrary_18042955_47303750.pdf. Доступ 16.01.2024. EDN: PEVRQB.Lyubushin, A. A. Great Japan Earthquake Forecast [Prognoz Velikogo Yaponskogo zemletryaseniya]. Priroda, 2012, Iss. 8 (1164), pp. 23–33. [Electronic resource]: https://elibrary.ru/download/elibrary_18042955_47303750.pdf. Last accessed 16.01.2024. EDN: PEVRQB.Гасанов А. Б., Аббасова Г. Г. Оценка фрактальной структуры и стохастического распределения поровых пустот нефтеносных коллекторов // Вестник ПНИПУ. Геология. Нефтегазовое и горное дело. – 2019. – Т. 19. – № 3. – С. 228–239. DOI: 10.15593/2224-9923/2019.3.3.Hasanov, A. B., Abbasova, G. G.Analysis of the fractal structure and stochastic distribution of pores in oil and gas reservoirs. Perm Journal of Petroleum and Mining Engineering, 2019, Vol. 19, Iss. 3, pp. 228–239. DOI: 10.15593/2224-9923/2019.3.3.Смирнов В. В., Спиридонов Ф. Ф. Фрактальные модели стохастических процессов // Южно-Сибирский научный вестник. – 2013. – № 1 (3). – С. 99–102. [Электронный ресурс]: https://elibrary.ru/download/elibrary_19107961_73506142.pdf. Доступ 16.01.2024. EDN: QCDQDT.Smirnov, V. V., Spiridonov, F. F. Fractal models of stochastic processes [Fraktalnie modeli stokhasticheskikh protsessov]. South Siberian Scientific Bulletin, 2013, Iss. 1 (3), pp. 99–102. [Electronic resource]: https://elibrary.ru/download/elibrary_19107961_73506142.pdf. Last accessed 16.01.2024. EDN: QCDQDT.Пащенко Ф. Ф., Амосов О. С., Муллер Н. В.Структурно-параметрическая идентификация временного ряда с применением фрактального и вейвлет-анализа // Информатика и системы управления. – 2015. – № 2 (44). – С. 80–88. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/item.asp?edn=twnbmr&ysclid=m3ok83dhjp774512399. Доступ 17.01.2024. EDN: TWNBMR.Pashchenko, F. F., Amosov, O. S., Muller, N. V. Structural-parametric identification of time series using fractal and wavelet analysis [Strukturno-parametricheskaya identifikatsiya vremennogo ryada s primeneniem fraktalnogo i veivlet-analiza]. Information Science and Control Systems, 2015, Iss. 2 (44), pp. 80–88. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/item.asp?edn=twnbmr&ysclid=m3ok83dhjp774512399. Last accessed 17.01.2024. EDN: TWNBMR.Кликушин Ю. Н. Метод фрактальной классификации сложных сигналов // Журнал радиоэлектроники. – 2000. – № 4. – 6 с. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15111685. Доступ 16.01.2024. EDN: MSRXQN.Klikushin, Yu. N.Method of fractal classification of complex signals [Metod fraktalnoi klassifikatsii slozhnykh signalov]. Zhurnal Radioelektroniki, 2000, Iss. 4, 6 p. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=15111685. Last accessed 16.01.2024. EDN: MSRXQN.Неганов В. А., Антипов О. И., Неганова Е. В. Фрактальный анализ временных рядов, описывающих качественные преобразования систем, включая катастрофы // Физика волновых процессов и радиотехнические системы. – 2011. – Т. 14. – № 1. – С. 105–110. [Электронный ресурс]: https://elibrary.ru/download/elibrary_16337899_76189553.pdf. Доступ 16.01.2024. EDN: NTNOXH.Neganov, V. A., Antipov, O. I., Neganova, E.V.Fractal analysis of time series describing qualitative transformation of systems, including disasters [Fraktalniy analiz vremennykh ryadov, opisyvayushchikh kachestvennie preobrazovaniya system, vklyuchaya katastrofy]. Fizika volnovykh protsessov i radiotekhnicheskie sistemy, 2011, Vol. 14, Iss. 1, pp. 105– 110. [Electronic resource]: https://elibrary.ru/download/elibrary_16337899_76189553.pdf. Last accessed 16.01.2024. EDN: NTNOXH.Кривоносова Е. К., Первадчук В. П., Кривоносова Е. А. Сравнение фрактальных характеристик временных рядов экономических показателей // Современные проблемы науки и образования. – 2014. – № 6. – 113 с. [Электронный ресурс]: https://elibrary.ru/download/elibrary_22877127_95621621.pdf. Доступ 16.01.2024. EDN: TGQDAZ.Krivonosova, E. K., Pervadchuk, V. P., Krivonosova, E. A. Comparison of fractal characteristics of time series of economic indicators [Sravnenie fraktalnykh kharakteristik vremennykh ryadov ekonomicheskikh pokazatelei]. Sovremennie problem nauki i obrazovaniya, 2014, Iss. 6, 113 p. [Electronic resource]: https://elibrary.ru/download/elibrary_22877127_95621621.pdf. Last accessed 16.01.2024. EDN: TGQDAZ.Барабаш Т. К., Масловская А. Г. Компьютерное моделирование фрактальных временных рядов // Вестник Амурского государственного университета. Естественные и экономические науки. – 2010. – № 49. – С. 31–38. [Электронный ресурс]: https://vestnik.amursu.ru/wp-content/uploads/2017/12/N49_7.pdf. Доступ 16.01.2024.Barabash, T. K., Maslovskaya, A.G.Computer modelling of fractal time series [Kompyuternoe modelirovanie fraktalnykh vremennykh ryadov]. Bulletin of Amur State University. Natural and economic sciences, 2010, Iss.49, pp https://elibrary.ru/contents.asp?id=33826785&selid=18986248.31–38. [Electronic resource]: https://vestnik.amursu.ru/wp-content/uploads/2017/12/N49_7.pdf. Last accessed 16.01.2024.Гарафутдинов Р. В., Ахуньянова С. А. Адаптированный метод клеточного покрытия для оценивания фрактальной размерности финансовых временных рядов // Прикладная математика и вопросы управления. – 2020. – № 3. – С. 185–218. DOI: 10.15593/2499-9873/2020.3.10.Garafutdinov, R. V., Akhunyanova, S. A.Adapted box-counting method for assessment of the fractal dimension of financial time series. Applied Mathematics and Control Issues, 2020, Iss. 3, pp. 185–218. DOI: 10.15593/2499-9873/2020.3.10.Gerogiorgis, D. I. Fractal scaling in crude oil price evolution via Time Series Analysis (TSA) of historical data. Chemical Product and Process Modeling, 2009, Vol. 4, No. 5. DOI: https://doi.org/10.2202/1934-2659.1370.Gerogiorgis, D. I. Fractal scaling in crude oil price evolution via Time Series Analysis (TSA) of historical data. Chemical Product and Process Modeling, 2009, Vol. 4, No. 5. DOI: https://doi.org/10.2202/1934-2659.1370.Некрасова И. В. Показатель Херста как мера фрактальной структуры и долгосрочной памяти финансовых рынков // Международный научно-исследовательский журнал. – 2015. – № 7 (38). – С. 87–91. [Электронный ресурс]: https://research-journal.org/media/PDF/irj_issues/7–3–38.pdf#page=87. Доступ 15.01.2024.Nekrasova, I. V.The Hurst index as a measure for the fractal structure and long-term memory of financial markets. International Research Journal, 2015, Iss. 7 (38), pp. 87–91. [Electronic resource]: https://research-journal.org/media/PDF/irj_issues/7–3–38.pdf#page=87. Last accessed 15.01.2024.Симонов П. М., Гарафутдинов Р. В. Моделирование и прогнозирование динамики курсов финансовых инструментов с применением эконометрических моделей и фрактального анализа // Вестник Пермского университета. Экономика. – 2019. – Т. 14. – № 2. – С. 268–288. DOI: 10.17072/1994–9960–2019–2–268–288.Simonov, P. M., Garrafutdinov, R. V. Modelling and forecasting of financial instruments dynamics using econometrics models and fractal analysis. Bulletin of Perm University. Economics, 2019, Vol. 14, Iss. 2, pp. 268–288. DOI: 10.17072/1994–9960–2019–2–268–288.Генералова А. А., Бычков Д. С. Улучшение аэродинамических свойств междугороднего автобуса с применением теории фракталов // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. – 2015. – № 2 (14). – C. 158–166. [Электронный ресурс]: https://elibrary.ru/download/elibrary_24107892_77708413.pdf. Доступ 13.01.2024.Generalova, A. A., Bychkov, D. S. Improving the aerodynamic properties of an intercity bus using fractal theory [Uluchshenie aerodunamicheskikh svoistv mezhdugorodnego avtobusa s primeneniem teorii fraktalov]. Models, systems, networks in economics, technology, nature and society, 2015, Iss. 2 (14), pp. 158–166. [Electronic resource]: https://elibrary.ru/download/elibrary_24107892_77708413.pdf. Last accessed 13.01.2024.Караблин О. В. О фрактальном характере автомобильного трафика города // Экономика: вчера, сегодня, завтра. – 2018. – Т. 8. – № 9А. – С. 287–292. [Электронный ресурс]: http://www.publishing-vak.ru/file/archive-economy2018–9/32karablin.pdf. Доступ 13.01.2024.Karablin, O. V. On the fractal nature of city automobile traffic [O fraktalnom kharaktere avtomobilnogo trafika goroda]. Economy: yesterday, today, tomorrow, 2018, Vol.8, Iss. 9А, pp. 287–292. [Electronic resource]: http://www.publishing-vak.ru/file/archive-economy2018–9/32karablin.pdf. Last accessed 13.01.2024.Pengjian Shang, Meng Wan, Santi Kama. Fractal nature of highway traffic data. Computers and Mathematics with Applications, 2007, Vol. 54, Iss. 1, pp. 107–116. DOI: doi.org/10.1016/j.camwa.2006.07.017.Pengjian Shang, Meng Wan, Santi Kama. Fractal nature of highway traffic data. Computers and Mathematics with Applications, 2007, Vol. 54, Iss. 1, pp. 107–116. DOI: doi.org/10.1016/j.camwa.2006.07.017.Qiang Meng, Hooi Ling Khoo. Self-Similar Characteristics of Vehicle Arrival Pattern on Highways. Journal of Transportation Engineering, 2009, Vol. 135, Iss. 11, pp. 864–872. DOI: doi.org/10.1061/(ASCE)0733-947X(2009)135:11(864).Qiang Meng, Hooi Ling Khoo. Self-Similar Characteristics of Vehicle Arrival Pattern on Highways. Journal of Transportation Engineering, 2009, Vol. 135, Iss. 11, pp. 864–872. DOI: doi.org/10.1061/(ASCE)0733-947X(2009)135:11(864).Xuewei Li, Pengjian Shang. Multifractal classification of road traffic flows. Chaos, Solitons and Fractals, 2007, Vol. 31, Iss. 5, pp. 1089–1094. DOI: doi.org/10.1016/j.chaos.2005.10.109.Xuewei Li, Pengjian Shang. Multifractal classification of road traffic flows. Chaos, Solitons and Fractals, 2007, Vol. 31, Iss. 5, pp. 1089–1094. DOI: doi.org/10.1016/j.chaos.2005.10.109.David, S. A., Machado, J. A. T., Inacio, C. M. C., Valentim, C. A. A combined measure to differentiate EEG signals using fractal dimension and MFDFA-Hurst. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2020, Vol. 84, 105170. DOI: https://doi.org/l0.l0l6/j.cnsns.2020.105170.David, S. A., Machado, J. A. T., Inacio, C. M. C., Valentim, C. A. A combined measure to differentiate EEG signals using fractal dimension and MFDFA-Hurst. Communications in Nonlinear Science Numerical Simulation, 2020, Vol. 84, 105170. DOI: https://doi.org/l0.l0l6/j.cnsns.2020.105170.Ерофеева Е. С., Ляпунова Е. А., Оборин В. А., Гилева О. С., Наймарк О. Б.Структурно-функциональный анализ твёрдых тканей зубов в оценке качества технологий отбеливания // Российский журнал биомеханики. – 2010. – Т. 14. – № 2 (48). – С. 47–55. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_15105346_39403207.pdf. Доступ 16.01.2024.Erofeeva, E. S., Lyapunova, E. A., Oborin, V. A., Gileva, O. S., Naimark, O. B. Structural and functional analysis of dental hard tissues in assessing the quality of whitening technologies [Strukturno-funktsionalniy analiz tverdykh tkanei zubov v otsenke kachestva tekhnologii otbelivaniya]. Russian Journal of Biomechanics, 2010, Vol. 14, Iss. 2 (48), pp. 47–55. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_15105346_39403207.pdf. Last accessed 16.01.2024.Бояршинов М. Г. Метод нормированного размаха для анализа интенсивности транспортного потока // Вестник ГБУ «Научный центр безопасности жизнедеятельности». – 2020. – № 2 (46). – С. 35–46. [Электронный ресурс]: https://elibrary.ru/download/elibrary_44788054_61375863.pdf. Доступ 15.01.2024.Boyarshinov, M. G.The method of normalised range for the analysis of traffic flow intensity [Metod normirovannogo razmakha dlya analiza intensivnosti transportnogo potoka]. Bulletin of the State Budgetary Institution «Scientific Center for Life Safety», 2020, Iss. 2 (46), pp. 35–46. [Electronic resource]: https://elibrary.ru/download/elibrary_44788054_61375863.pdf. Last accessed 15.01.2024.Boyarshinov, M. G., Vavilin, A. S.The deterministic component of the traffic flow intensity. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, International Conference: Actual Issues of Mechanical Engineering (AIME 2020) 27th – 29th October 2020, Saint-Petersburg, Russian Federation, 2021, 1111 (1), 012013 (10 p). DOI: 10.1088/1757-899X/1111/1/012013.Boyarshinov, M. G., Vavilin, A. S.The deterministic component of the traffic flow intensity. IOP Conference Series: Materials Science and Engineering, International Conference: Actual Issues of Mechanical Engineering (AIME 2020) 27th – 29th October 2020, Saint-Petersburg, Russian Federation, 2021, 1111 (1), 012013(10 p). DOI: 10.1088/1757-899X/1111/1/012013.Бояршинов М. Г., Вавилин А. С., Шумков А. Г. Использование комплекса фотовидеофиксации нарушений правил дорожного движения для выделения детерминированной и стохастической составляющих интенсивности транспортного потока // Интеллект. Инновации. Инвестиции. – 2021. – №3. – С. 61–71. DOI: 10.25198/2077-7175-2021-3-61.Boyarshinov, M. G., Vavilin, A. S., Shumkov, A. G. Using the complex of photo and video recording of traffic violations to identify deterministic and stochastic components of the traffic flow intensity. Intellekt. Innovacii. Investicii, 2021, Iss. 3, pp. 61–71. DOI: 10.25198/2077-7175-2021-3-61.Бояршинов М. Г., Вавилин А. С., Шумков А. Г. Фурье-анализ интенсивности транспортного потока // Интеллект. Инновации. Инвестиции. – 2021. – № 4. – С. 46–59. DOI: 10.25198/2077-7175-2021-4-46.Boyarshinov, M. G., Vavilin, A. S., Shumkov, A. G. Fourier analysis of the traffic flow intensity. Intellekt. Innovacii. Investicii, 2021, Iss. 4, pp. 46–59. DOI: 10.25198/2077-7175-2021-4-46.Бояршинов М. Г., Вавилин А. С., Васькина Е. В. Применение показателя Хёрста для исследования интенсивности транспортного потока // Интеллект. Инновации. Инвестиции. – 2022. – № 2. С. 68–81. DOI: 10.25198/2077-7175-2021-2-68.Boyarshinov, M. G., Vavilin, A. S., Vaskina, E. V. Application of the Hurst index to research the traffic flow intensity. Intellekt. Innovacii. Investicii, 2022, Iss. 2, pp. 68– 81. DOI: 10.25198/2077-7175-2021-2-68.Бояршинов М. Г., Вавилин А. С., Васькина Е. В. Применение вейвлет-анализа для исследования интенсивности транспортного потока // Интеллект. Инновации. Инвестиции. – 2022. – № 4. – С. 72–87. DOI: doi.org/10.25198/2077-7175-2022-4-72.Boyarshinov, M. G., Vavilin, A. S., Vaskina, E. V. Application of wavelet analysis to investigate traffic flow intensity. Intellekt. Innovacii. Investicii, 2022, Iss. 4, pp. 72– 87. DOI: doi.org/10.25198/2077-7175-2022-4-72.Grassberger, P., Procaccia, I. Characterization of Strange Attractors. Physical Review Letters, 1983, 50, pp. 346–349. [Электронный ресурс]: https://e-l.unifi.it/pluginfile.php/591014/mod_resource/content/0/PhysRevLett.50.346.pdf. Доступ 16.01.2024.Grassberger, P., Procaccia, I. Characterization of Strange Attractors, Physical Review Letters, 1983, 50, pp. 346–349. [Electronic resource]: https://e-l.unifi.it/pluginfile.php/591014/mod_resource/content/0/PhysRevLett.50.346.pdf. Last accessed 16.01.2024.Крылова О. И., Цветков И. В.Комплекс программ и алгоритм расчета фрактальной размерности и линейного тренда временных рядов // Программные продукты и системы. – 2012. – № 4. – С. 106–110. [Электронный ресурс]: https://swsys.ru/index.php?page=article&id=3320&lang. Доступ 16.01.2024. EDN: OXSJMU.Krylova, O. I., Tsvetkov, I. V. A software package and algorithm for calculating the fractal dimension and linear trend of time series. Software products and systems, 2012, Iss. 4, pp. 106–110. [Electronic resource]: https://swsys.ru/index.php?page=article&id=3320&lang. Last accessed 16.01.2024. EDN: OXSJMU.Дещеревский А. В. Фрактальная размерность, показатель Херста и угол наклона спектра временного ряда. – М.: Институт сейсмологии Объединенного института физики Земли им. О. Ю.Шмидта РАН, 1997. – 34 с. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_26650013_92379281.pdf. Доступ 16.01.2024. EDN: WLESYZ.Deshcherevsky, A. V. Fractal dimension, Hurst exponent and slope angle of the time series spectrum. Moscow, Institute of Seismology, Joint institute of Physics of the Earth named after O.Yu. Schmidt, Russian Academy of Sciences, 1997, 34 p. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_26650013_92379281.pdf. Last accessed 16.01.2024. EDN: WLESYZ.Старченко Н. В. Индекс фрактальности и локальный анализ хаотических временных рядов // Автореф. дисс. … канд. физ.-мат. наук. – М.: МИФИ (гос. ун-т), 2005. – 24 с. [Электронный ресурс]: https://viewer.rusneb.ru/ru/000200_000018_RU_NLR_bibl_1085207?page=1&rotate=0&theme=white. Доступ 16.01.2024.Starchenko, N. V. Fractality index and local analysis of chaotic time series. Abstract of Ph.D. (Physics and Mathematics) thesis [Indeks fraktalnosti i lokalniy analiz khaoticheskikh vremennykh ryadov. Avtoref. diss…kand. fizmat nauk]. Moscow, MEPhI (State University), 2005, 24 p. [Electronic resource]: https://viewer.rusneb.ru/ru/000200_000018_RU_NLR_bibl_1085207?page=1&rotate=0&theme=white. Last accessed 16.01.2024.Анисимов И. А., Осипов Г. С. Сравнение классического и модифицированного методов расчета фрактальной размерности временных рядов с помощью показателя Херста // International Journal of Humanities and Natural Sciences. – 2020. – Т. 10–2 (49). – С. 6–10. DOI: 10.24411/2500-1000-2020-11104.Anisimov, I. A., Osipov, G. S. Comparison of classical and modified methods for calculating the fractal dimension of time series using the Hurst exponent [Sravnenie klassicheskogo i modifitsirovannogo metodov rascheta fraktalnoi razmernosti vremennykh ryadov s pomoshchyu pokazatelya Hersta]. International Journal of Humanities and Natural Sciences, 2020, Vol. 10–2 (49), pp. 6–10. DOI: 10.24411/2500-1000-2020-11104.Дрю Д. Теория транспортных потоков и управление ими. – М.: Транспорт, 1972. – 424 с.Drew, D. R.Traffic flow theory and control [Edition in Russian]. Moscow, Transport publ., 1972, 424 p.Сильянов В. В. Теория транспортных потоков в проектировании дорог и организации движения – М.: Транспорт, 1977. – 303 с.Silyanov, V. V.Theory of traffic flows in road design and traffic organization [Teoriya transportnykh potokov v proektirovanii dorog i organizatsii dvizheniya]. Moscow, Transport publ., 1977, 303 p.Sutcliffe, J., Hurst, S., Awadallah, A. G., Brown, E., Hamed, Kh.Harold Edwin Hurst: the Nile and Egypt, past and future. Hydrological Sciences Journal, 2016, Vol. 61, Iss. 9, pp. 1557–1570. DOI: 10.1080/02626667.2015.1019508.Sutcliffe, J., Hurst, S., Awadallah, A. G., Brown, E., Hamed, Kh. Harold Edwin Hurst: the Nile and Egypt, past and future. Hydrological Sciences Journal, 2016, Vol. 61, Iss. 9, pp. 1557–1570. DOI: 10.1080/02626667.2015.1019508.Голубь Ю. Я.Изучение фрактальной размерности произведения временного ряда на число и умножения временных рядов // Наука и бизнес: пути развития. – 2016. – № 5 (59). – С. 72–76. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_26384218_98248727.pdf. Доступ 13.01.2024. EDN: WFJNCD.Golub, Yu. Ya. Fractal dimensionality of time series multiplied by a number and multiplication of other time series [Izychenie fraktalnoy razmernosti vremennogo riada na chislo i umnozheniya vremennykh riadov]. Science and Business: Ways of Development, 2016, Iss. 5 (59), pp. 72–76. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_26384218_98248727.pdf. Last accessed 13.01.2024. EDN: WFJNCD.Голубь Ю. Я. Аналитическое рассмотрение фрактальной размерности кросс-курсов одной валюты по отношению к другой // Наука и бизнес: пути развития. – 2014. – № 7 (37). – С. 42–45. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_22309341_13493325.pdf. Доступ 14.01.2024. EDN: SUFBVT.Golub, Yu. Ya. Analytical Analysis of the Fractal Dimensionality of a Cross Rate of One Currency in Relation to Another [Analiticheskoe rassmotrenie fraktalnoi razmernosti kross-kursov odnoi valyuty po otnosheniyu k drugoi]. Science and Business: Ways of Development, 2014, Iss. 7 (37), pp. 42–45. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_22309341_13493325.pdf. Last accessed 14.01.2024. EDN: SUFBVT.Михайлов В. В., Кирносов С. Л., Гедзенко М. О. Фрактальная модель обработки потоковых данных в задаче прогнозирования условий погоды // Проблемы обеспечения безопасности при ликвидации последствий чрезвычайных ситуаций. – 2013. – Т. 2. – № 1 (2). – С. 43–46. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_26293729_82151009.pdf. Доступ 13.01.2024. EDN: WDKAMR.Mikhailov, V. V., Kirnosov, S. L., Gedzenko, M. O. Fractal model of processing streaming data in the task of forecasting weather conditions [Fraktalnaya model obrabotki potokovykh dannykh v zadache prognozirovaniya uslovii pogody]. Problems of ensuring safety in elimination of consequences of emergency situations, 2013, Vol. 2, Iss.1 (2), pphttps://www.elibrary.ru/contents.asp?id=34248283&selid=26293729.43–46. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_26293729_82151009.pdf. Last accessed 13.01.2024. EDN: WDKAMR.Li Li, Zhiheng Li, Yi Zhang, Yudong Chen. AMixedFractal Traffic Flow Model Whose Hurst Exponent Appears Crossover. Fifth International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization, Conference Publishing Service, 2012, pp. 443–447. DOI: 10.1109/CSO.2012.103.Li Li, Zhiheng Li, Yi Zhang, Yudong Chen. AMixedFractal Traffic Flow Model Whose Hurst Exponent Appears Crossover. Fifth International Joint Conference on Computational Sciences and Optimization, Conference Publishing Service, 2012, pp. 443–447. DOI 10.1109/CSO.2012.103.Kaklauskas, L., Sakalauskas, L. Study of on-line measurement of traffic self-similarity. CEJOR, 2013, Vol. 21, pp. 63–84. DOI: 10.1007/s10100-011-0216-5.Kaklauskas, L., Sakalauskas, L. Study of on-line measurement of traffic self-similarity. CEJOR, 2013, Vol. 21, pp. 63–84. DOI 10.1007/s10100–011–0216–5.Mehrvar, H. R., Le-Ngoc, T. Estimation of Degree of Self-Similarity for Traffic Control in Broadband Satellite Communications. Proceedings 1995 Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering, Montreal, QC, Canada, 1995, Vol. 1, pp. 515–518. DOI: 10.1109/CCECE.1995.528187.Mehrvar, H. R., Le-Ngoc, T. Estimation of Degree of Self-Similarity for Traffic Control in Broadband Satellite Communications. Proceedings 1995 Canadian Conference on Electrical and Computer Engineering, Montreal, QC, Canada, 1995, Vol. 1, pp. 515–518. DOI: 10.1109/CCECE.1995.528187.Главацкий С. П. Статистический анализ трафика социальных сетей // Наукові праці ОНАЗ ім. О. С. Попова, 2013, № 2б с. 94–99. – [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21597433. – Доступ 14.08.2023.Glavatskiy, S. P. Statistical analysis of social media traffic [Statisticheskiy analiz trafika sotsialnykh setei]. Naukovi pratsi ONAZ im. O. S. Popova, 2013, Iss. 2, pp. 94–99. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/item.asp?id=21597433. – Last accessed 14.08.2023.Жмурко Д. Ю., Осипов А. К. Прогнозирование показателей развития сахарной отрасли с применением методов фрактального анализа // Вестник Удмуртского университета. Экономика и право. – 2018. – Т. 28. – № 2. – С. 185–193. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_35078230_18865640.pdf. Доступ 14.08.2023. EDN: LVBFMT.Zhmurko, D. Yu., Osipov, A. K. Forecasting the development indicators of the sugar industry using fractal analysis methods [Prognozirovanie pokazatelei razvitiya sakharnoi otrasli s primeneniem metodov fraktalnogo analiza]. Bulletin of Udmurt University. Economics and Law, 2018, Vol. 28, Iss. 2, pp. 185–193. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_35078230_18865640.pdf. Last accessed 14.08.2023. EDN: LVBFMT.Лопухин А. М. Применение методов фрактального анализа к прогнозированию показателей развития предприятий кофейной отрасли // Continuum. Математика. Информатика. Образование. – 2020. – № 4. – С. 70– 77. DOI: 10.24888/2500-1957-2020-4-70-79.Lopukhin, A. M. Application of fractal analysis methods to forecasting development indicators of coffee industry enterprises [Primenenie metodov fraktalnogo analiza k prognozirovaniyu pokazatelei razvitiya predpriyatiyi kofeinoi otrasli]. Continuum. Мathematics. Computer science. Education, 2020, Iss. 4, pp. 70–77. DOI: 10.24888/2500-1957-2020-4-70-79.Шмырин А. М., Седых И. А., Щербаков А. П.Методы нелинейного анализа при исследовании характеристик производства клинкера // Вестник ТГУ. – 2014. – Т. 19. – Вып. 3. – С. 923–926. [Электронный ресурс]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_21830477_25858437.pdf. Доступ 14.08.2023. EDN: SJSQBH.Shmyrin, A. M., Sedykh, I. A., Shcherbakov, A. P. Nonlinear analysis methods in investigating clinker production characteristics [Metody nelineinogo analiza pri issledovanii kharakteristik proizvodstva klinkera]. Vestnik TGU, 2014, Vol. 19, Iss. 3, pp. 923–926. [Electronic resource]: https://www.elibrary.ru/download/elibrary_21830477_25858437.pdf. Last accessed 14.08.2023. EDN: SJSQBH.Can Ye, Huiyun Li, Guoqing Xu. An Early Warning Model of Traffic Accidents Based on Fractal Theory. 17th International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems (ITSC), Qingdao, China, 2014, pp. 2280–2285. DOI: 10.1109/ITSC.2014.6958055.Can Ye, Huiyun Li, Guoqing Xu. An Early Warning Model of Traffic Accidents Based on Fractal Theory. 17th International IEEE Conference on Intelligent Transportation Systems (ITSC), Qingdao, China, 2014, pp. 2280–2285. DOI: 10.1109/ITSC.2014.6958055.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.